Mekanika izenekoa fisikaren adar bat da, gorputzen oreka eta gorputzen higidura aztertzen dituena. Horien kausak zein diren arakatzen du, eta higidura arautzen duten printzipioak eta legeak definitzen ditu.

Mekanika klasikoa terminoa XX. mendeko lehenengo urteetan hasi zen erabiltzen, ordura arteko mekanikari buruz aritzeko eta mende horren hasieran sorturiko erlatibitatearen teoriatik eta mekanika kuantikotik bereizteko. Hain justu, mekanika klasikoa argiarena baino abiadura askoz txikiagoak dituzten gorputz makroskopikoen higidura deskribatzeko erabiltzen da. Oso doitasun handiko emaitzak lortzen ditu praktikan, eta, horregatik, adar hau gehien erabiltzen denetarikoa da zientzian eta teknologian.

Mekanika klasikotik bereiziz, abiadura handian dabiltzan gorputzen kasuan mekanika erlatibista edo einsteindarra erabiltzen da (erlatibitate berezia). Egia esanda, egindako bereizketa hori ez da fisikari guztien gogokoa, eta zenbaitek erlatibitate berezia ere mekanika klasikoaren barnean sartzen dute; dena den, azalpen honetan, alde batera utziko dugu. Bestalde, gorputz oso handien kasuan grabitazioaren teoria (erlatibitate orokorra) erabiltzen da. Eta, azkenik, gorputz oso txikien kasuan, eta, halaber, materiaren egituraren, partikula subatomikoen, superfluidotasunaren, supereroankortasunaren eta beste zenbait fenomenoren kasuan, mekanika kuantikoa erabiltzen da.

Mekanika klasikoaren garapena Tycho Braheren (1546-1601) behaketetatik eta Galileo Galileik (1564-1642) jaurtigaien ibilbideari buruz egindako azterketetatik abiatu zen XVI. mendean. Horien jarraipena izan ziren Johannes Keplerren (1571-1630) teoria astronomikoak, XVII. mendean bidea jarri ziotenak Isaac Newtoni (1643-1727) fisika matematikoaren egitura eraikitzeko. Izan ere, mekanika klasikoaren lehenengo eraikuntza horri mekanika newtondar ere baderitzo, eta sarri bi termino horiek baliokidetzat hartzen dira, bereziki mekanika einsteindarra alde batera uzten denean. Mekanika klasiko newtondarrak Newtonek berak —eta aldi berean Gottfried Wilhelm von Leibnizek (1646-1716)— asmaturiko metodo matematikoak erabiltzen ditu. Nolanahi den, Newtonen printzipio fisikoak onarturik eta horietan oinarriturik, zenbait fisikarik metodo analitiko abstraktuagoak eraiki zituzten XVIII. eta XIX. mendeetan, hala nola Joseph Louis Lagrangek (1736-1813) (mekanika lagrangearra) eta William Rowan Hamiltonek (1805-1865) (mekanika hamiltondarra).

Mekanika klasikoak bi atal nagusi ditu: zinematika, higiduraren deskripzioaz ari dena, eta dinamika, zeinean indarrek higiduran duten eragina aztertzen den, bai eta geldi dauden gorputzen oreka estatikoa ere (kasu honetako azpiatalari estatika deritzo). Lehenengo hurbilketa batean, higidurari buruzko magnitudeak partikula puntualen kasurako formulatzen dira, esan nahi baita, partikulen dimentsioak, formak eta bestelako ezaugarri espazialak kontuan izan gabe. Dena den, partikula puntualak aztertu ondoren, hainbat motatako partikula-sistemak ere aztertzen dira, hala nola solido zurrunak eta solido deformagarriak; azken horietan, kasu berezitzat hartzen dira, batetik, gorputz elastikoak (elastikotasunaren teoria) eta, bestetik, fluidoak (hidrostatika eta hidrodinamika).

Zinematika

Mekanika klasikoaren adar honetan, gorputzen edo gorputz-sistemen higiduraren deskripzio geometrikoa egiten da, baina higidura hori sorrarazten duten indarrak ezertarako kontuan hartu gabe, alegia, higiduraren kausak aztertu gabe.

Higidura deskribatzeko erabiltzen diren magnitudeek izaera bektoriala dute, hots, tamainaz gain (modulua), ezaugarri berezitzat dauzkate espazioko norabidea eta noranzkoa. Azalpenerako, erreferentziako koordenatu-sistema bat aukeratzen da espazio tridimentsionalean. Hiru dira higiduraren deskripziorako zinematikan erabiltzen diren magnitude fisikoak: posizioa (r), abiadura (v) eta azelerazioa (a), hirurak ere bektoreak. Higidura definitzen duten magnitude horiek denboraren funtzioan ematen dira, horiek denboran izandako eboluzioa adierazirik, hau da, denbora aldagai independentetzat harturik; horrela eginik, higiduraren deskripzio jarraitua lortzen da.

Horretarako, erreferentzia-sistema tridimentsionala aukeratzen da, eta sistema horrekiko hiru osagaiak emanik definitzen dira aipaturiko hiru bektoreak, erreferentziako hiru koordenatu espazialak denboraren funtzioak izanik. Adibidez, koordenatu-sistema kartesiarra aukeraturik, honelaxe adieraz daiteke posizio bektorea:

$r(t)=x(t)i+y(t)j+z(y)k$.

Definizioz, abiadura bektorea posizio bektorearen denborarekiko deribatua da,

$v=\frac{dr}{dt}=\frac{dx}{dt}i+\frac{dy}{dt}j+\frac{dz}{dt}k=v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k$,

alegia, denbora pasatu ahala posizioa nola aldatzen den adierazten du. Bestetik, azelerazioa deritzon magnitudea abiaduraren denborarekiko deribatua da, eta denbora pasatu ahala abiadura nola aldatzen den adierazten du:

$a=\frac{dv}{dt}=\frac{{dv}_x}{dt}i+\frac{{dv}_y}{dt}j+\frac{{dv}_z}{dt}k=\frac{d^{2}x}{{dt}^2}i+\frac{d^{2}y}{{dt}^2}j+\frac{d^{2}z}{{dt}^2}k=a_{x}i+a_{y}j+a_{z}k$.

Partikulak denboran zehar hartzen dituen posizio guztien multzoak partikularen ibilbidea definitzen du. Oro har, ibilbidea lerro kurbatua da. Dena den, puntu bakoitzeko abiadura-bektorea ibilbidearekiko tangentea da betiere. Ostera, azelerazio-bektorearen norabidea ez da tangentearena, eta haren noranzkoa beti da ibilbidearen barrualderanzkoa; hori dela eta, ibilbidearen erreferentzia harturik, ohitura dago azelerazioa bi osagaitan banantzeko: osagai tangentziala eta osagai zentripetua (horrela deitzen da, ibilbidearen parte konkaboranzkoa delako).

Dinamika

Mekanika klasikoaren adar honetan, higiduraren izaera aztertzen da, baina betiere kontuan izanik izaera horrek zer erlazio duen bera arautzen duten faktore fisikoekin (indarra, masa, momentua eta energia). Erlazio horiek Newtonek formulaturiko hiru higidura-legeetan daude bildurik. Lege horiek 1687. urtean argitaratu ziren Philosophiae Naturalis Principia Mathematica izeneko liburuan, fisikaren historian argitaratu den libururik garrantzitsuenetakoan.

Newtonen h iru legeak

Newtonen lehenengo legeak dioenez, gorputz bat geldi badago edo lerro zuzen batean abiadura konstantean higitzen ari bada, etengabe iraungo du geldi edo abiadura konstantean, haren gainean indar batek eragin ezean. Lege (edo postulatu) honi inertziaren legea deritzo, eta, izatez, Galileok aipatu zuen lehenik eta René Descartesek (1596-1650) finkatu geroago, baina Newtonek formulatu zuen bere orokortasunean.

Newtonen bigarren legea indarrek gorputzen higiduran sortzen dituzten aldakuntzen deskripzioa da (indar kontzeptuaren definiziotzat ere har daiteke, noski). Lege honek dioenez, gorputzaren gainean eragiten duen indarraren balioa gorputzaren momentuan denborarekin gertatzen den aldakuntzaren berdina da; hots, indarra momentuaren denborarekiko deribatuaren berdina da. Biak ala biak, indarra (F) eta momentua (p), magnitude bektorialak dira, hau da, kantitateez gain norabideak eta noranzkoak ere hartu behar dira kontuan. Honelaxe adieraz daiteke lege hori idazkera matematikoan:

$F=\frac{dp}{dt}$.

Definizioz, gorputzaren momentua (momentu lineala ere baderitzo) gorputzaren masaren (m, magnitude eskalarra) eta abiaduraren (v, magnitude bektoriala) arteko biderkadura da:

$p=m\upsilon$,

hots, magnitude bektoriala da. Ziurrenik ere, Newtonen bigarren legea da fisika osoko legerik garrantzitsuena. Masa konstantea duen gorputzaren kasuan, era honetan idatz daiteke:

$F=\frac{d(m\upsilon )}{dt}=m\frac{d\upsilon }{dt}=ma$.

Hortaz, masa konstantedun gorputzean F indarra egitean, gorputz hori azeleratua izango da a azelerazioaz, ekuazio horren arabera.

Newtonen hirugarren legea elkarrekintzan dauden bi gorputzi buruzkoa da. Lege honek dioenez, bi gorputzek elkarri egiten dizkioten indarrak balio berekoak dira magnitudeari dagokionez, lerro berean aplikaturik daude, baina aurkako noranzkoak dituzte (biak bektoreak izanik), hots:

$F_{\text{12}}=-F_{\text{21}}$.

Lege honi akzio-erreakzioaren legea ere baderitzo. Berdin aplikatzen da oreka estatikoan dauden gorputzen kasuan zein higidura uniformea edo azeleratua duten gorputzen kasuan ere.

Erreferentzia-sistema ez-inertzialak

Aurreko kontzeptu guztiak erreferentzia-sistema inertzialen kasuan aplikatzen dira. Hortaz, mekanika newtondarrean erreferentzia-sistema ez-inertzialak erabiltzean zenbait egokitzapen egin behar izaten dira, bereziki kasuan kasuko inertzia-indarrak gehituz. Betiere oinarrizko erreferentziatzat sistema inertzial bat harturik, sistema ez-inertzialeko erreferentziatik honako inertzia-indar hauek hartu behar dira kontuan: erreferentzia-sistema ez-inertzialaren jatorriaren azelerazioari dagokiona, sistema ez-inertzialaren azelerazio angeluarrari dagokiona, indar zentrifugoa eta Coriolisen indarra.

Lana eta energia

Mekanika klasikoan, bestelako magnitude eskalar batzuk ere erabiltzen dira, sistema mekanikoaren eboluzioa (higidura bere osotasunean) aztertzeko oso baliagarriak direnak, bereziki bi hauek: lana eta energia. Ikus ditzagun kontzeptu horien definizioak eta ezaugarriak.

Lan mekanikoa

Partikula puntualaren kasuan, $dt$ denbora-tarte infinitesimalean partikularen gainean eragiten duen indarrak (F bektoreak) partikularen $dr$ desplazamenduan zehar eginiko lan infinitesimala, definizioz, indarraren eta desplazamenduaren arteko biderkadura eskalarra da:

$dW=F\cdot dr$.

Horren arabera, ibilbideko bi punturen artean (A eta B) eragitean indarrak guztira egiten duen lana (lan mekanikoa) aurreko adierazpenaren integral mugatua eginez lortzen da:

$W={\int }_A^{B}F\cdot dr={\int }_A^B\left(F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz\right)$.

Agerikoa denez, integral hori lerro-integrala da. Zer esanik ez, oro har, lerro-integral horren balioa ibilbidearen araberakoa izango da, hots, ibilbidearen funtzioa. Normalean, lana W letra larriz adierazi ohi da, ingelesezko work hitzaren lehen letra erabiliz.

Potentzia mekanikoa

Lan kontzeptuarekin loturik, mekanika klasikoan potentzia edo potentzia mekanikoa deritzon kontzeptua ere erabiltzen da, denbora-unitatean eginiko lana adierazten duena. Bi motatako potentziak definitu ohi dira: aldiuneko potentzia eta batez besteko potentzia. Aldiuneko potentzia lan infinitesimalaren eta denbora-tarte infinitesimalaren arteko zatidura da, edo bestelako hitzekin esanda, lanaren denborarekiko deribatua:

$P=\frac{dW}{dt}$.

Bistan denez, aldiuneko potentziak aldiune edo istant bakoitza hartzen du kontuan. Bestalde, horrekin batera, oso baliagarria da praktikan denbora-tarte finituari (ibilbideko A eta B puntuen artekoari) dagokion batez besteko potentzia, honelaxe definitzen dena:

$\langle P\rangle =\frac{W}{t}$.

Energia zinetikoa

Newtonen bigarren legea kontuan izanik, ibilbideko bi punturen arteko lana kalkulatzean, beste magnitude eskalar bat lortzen da, praktikan oso erabilgarria dena, energia zinetikoa, alegia. Hain zuzen, lanaren adierazpenetik abiaturik,

$W={\int }_A^{B}F\cdot dr={\int }_A^{B}m\frac{dv}{dt}\cdot vdx={\left[\frac{1}{2}{mv}^2\right]}_A^B=\frac{1}{2}{mv}_{B^2}-\frac{1}{2}{mv}_{A^2}$

lortzen da. Gauzak horrela, definizioz,

$E_k=\frac{1}{2}{mv}^2$

magnitudeari energia zinetiko deritzo. Aurreko azalpena kontuan izanik esan dezakegunez, gorputz baten gainean egiten den lana gorputzaren energia zinetikoa aldatzeko erabiltzen da, hau da:

$W=E_{k,B}-E_{k,A}$.

Indar kontserbatzaileak eta indar ez-kontserbatzaileak

Ikusi dugunez, bi punturen arteko lana kalkulatzeko, lan infinitesimalaren lerro-integrala kalkulatu behar da, ibilbidearen gainean. Oro har, bi puntu jakin baditugu, integral horren balioa tarteko ibilbidearen araberakoa izango da, eta aldatu egingo da ibilbide bat ala beste izan. Hala ere, indarren artean badira batzuk, propietate berezi hau dutenak: ibilbidea edozein izanik ere, edozein bi punturen arteko lerro-integralak kasu guztietan ematen du emaitza berbera. Indar kontserbatzaileak direla esaten da. Horrelakoen kasuan, $E_p(x,y,z)$ funtzio eskalar bat defini daiteke, eta bi puntu jakinen artean indarrak partikula puntualaren gainean eginiko lana honelaxe kalkulatzen da, ibilbidea edozein izanik ere:

$W={\int }_A^{B}F\cdot dr=E_{p,A}-E_{p,B}$.

Horrelaxe definituriko $E_p$ funtzioari energia potentzial deritzo. Berez, energia potentziala indeterminaturik dago konstante batean, zeren bi punturen arteko lana bi puntu horietako energia potentzialen arteko kendura baita. Hots,

$E_p=E_p(x,y,z)+K$

da, zeren hauxe baitugu:

$E_{p,A}-E_{p,B}={\left[E_p(x,y,z)+K\right]}_A-{\left[E_p(x,y,z)+K\right]}_B=E_{p,A}(x,y,z)-E_{p,B}(x,y,z)$.

Hortaz, konstante horren balioa aukeran dago, esan nahi baita, energia potentzialaren zero maila non aukeratu nahi den.

Ondorioz, indar kontserbatzaileen kasuan ibilbide itxia kontsideratzen bada —alegia, hasierako eta bukaerako puntuak bat bera badira—, lerro-integralaren balioa nulua da:

$\oint F\cdot dr=0$,

eta matematikako teorema jakin baten arabera, horrek esan nahi du, halaber, indarra eremu potentzialaren gradiente modura adieraz daitekeela; dena den, mekanika klasikoan ohitura dago gradienteari zeinu negatibo bat gehitzeko, honelaxe:

$F=-\text{grad}{E}_p=-\left(\frac{\partial E_p}{\partial x}i+\frac{\partial E_p}{\partial y}j+\frac{\partial E_p}{\partial z}k\right)$.

Arestian aipaturiko propietatea betetzen ez duten indarrei indar ez-kontserbatzaile deritze. Indar ez-kontserbatzaileen kasuan, bi punturen arteko lana ezin adieraz daiteke energia potentzial batez, ibilbidearen araberakoa baita. Horrelakoak dira, adibidez, marruskadura-indarrak.

Energia mekanikoaren kontserbazioa

Indar kontserbatzaileen kasuan, bi punturen arteko lana energia zinetikoaren eta energia potentzialaren adierazpenen bidez azalduz eta bi adierazpenok berdinduz, higiduran zehar etengabe balio berbera duen magnitude bat lortzen da: energia mekanikoa.

${\int }_A^{B}F\cdot dr=E_{k,B}-E_{k,A}=E_{p,A}-E_{p,B}$,

eta hortik,

${\left(E_k+E_p\right)}_A={\left(E_k+E_p\right)}_B$.

Gauzak horrela, $E=E_k+E_p$ magnitudeari energia mekaniko deritzo, eta balio berbera du higidurako puntu guztietan, indarrak kontserbatzaileak diren kasuan. Hain zuzen, t aldiunean $P(x,y,z)$ puntuan v moduludun abiaduraz higitzen ari den partikularen energia mekanikoa hau da:

$E=\frac{1}{2}{mv}^2+E_p(x,y,z)$,

eta konstante dirau higidura osoan zehar. Baieztapen hori da, preseski, energia mekanikoaren kontserbazioaren printzipioa indar kontserbatzaileen kasuan.

Mekanika analitikoa

Mekanika analitikoaren hazia Leibnizen lanetan suma daiteke, baita aurreko atalean azterturiko bi magnitude eskalarren definizioan ere, esan nahi baita, lan eta energia kontzeptuen definizioan, kontuan izanik biak elkarrekin erlazionaturik daudela, zeren lanak baitakar energiaren aldaketa.

Berez, erabiliko diren ekuazioak Newtonen legeen baliokideak diren arren, mekanika analitikoak Newtonenak baino formulazio abstraktuagoa du, modu berean sistema inertzial eta ez-inertzialen erabilera ahalbidetzen duena, horretarako ekuazioen oinarrizko forma aldatu gabe. Funtsean, mekanika analitikoak bi formulazio ditu: formulazio lagrangearra eta formulazio hamiltondarra; lehena helburu praktikoetarako bideratuta dago, eta bigarrena, egokiagoa da formulazio teorikorako.

Esan dugunez, Newtonen ekuazioek izaera bektoriala dute; hortaz, osagai tridimentsionalak aztertu behar dira, banan-banan; nolanahi ere, ekuazioak ebazteko modukoak izan daitezke partikula bakarraren kasuan. Arazoa gehiago korapilatzen da partikula-sistemen kasuan eta, bereziki, higidurarako posibilitateak murrizten dituzten loturak daudenean. Loturen ondorioz, higidura-ekuazioak ez dira elkarrekiko independenteak, eta gainera higidurarako baldintzak ezartzen dituzten lotura-indarrak ezin izaten dira aldez aurretik ezagutu. Arazo praktiko latzak ditugu, hortaz. Arazo horiek gainditzeko, mekanika analitikoan koordenatu orokortuak erabiltzen dira; horien bidez, sistema mekanikoak dituen askatasun-graduak definitzen dira. Kasurako, N partikula puntualez osaturiko sistema mekanikoa badugu eta partikula horien artean k lotura baditugu, partikulei dagozkien 3N koordenatuetatik $\mathrm{3<mi>N</mi>}-k=n$ soilik izango dira independenteak, hots, sistema horrek n askatasun-gradu izango ditu.

Gauzak horrela, koordenatu orokortuak ($q_j$) aukeratzeko, ez da baldintza berezirik jartzen. Eskakizun bakarra hau da: horien bidez sistemako partikula guztien posizioa erabat definiturik geratzea. Hain zuzen, honako transformazio-ekuazio hauen bitartez definiturik geratuko dira partikula guztien posizio bektoreak ($r_i$):

$r_i=r_i(q_j,t)(i=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},N;j=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},n)$

Modu horretan, partikula-sistemaren egoera n dimentsioko espazio bateko puntu baten bidez adieraziko dugu, $(q_1,q_2,\text{.}\text{.}\text{.},q_n)$, kontuan izanik dimentsio bakoitza $q_j$ koordenatu orokortu bati dagokiola. Horrela definituriko espazioari konfigurazio-espazio deritzo.

Mekanika lagrangearra

Koordenatu orokortuak definitu ondoren, horien bidez adierazten dira energia zinetikoa (kasu honetan T letraz adierazteko ohitura dago) eta energia potentziala (V letraz adierazi ohi da), eta horien arteko kendura ($T-V$) funtzio berri bat da (L), zeinari funtzio lagrangear edo, huts-hutsean, lagrangear deritzon:

$L\equiv T-V$.

Definituriko funtzio horretan koordenatu orokortuak ($q_j$ ), abiadura orokortuak $\left({\stackrel{\dot{}}{q}}_j\equiv \frac{{dq}_j}{dt}\right)$ eta denbora (t) ager daitezke, hots,

$L=L(q_j,{\stackrel{\dot{}}{q}}_j,t)$

da, eta, horren bidez, Newtonen ekuazioen baliokideak diren Lagrangeren ekuazioak (edo Euler eta Lagrangeren ekuazioak ere baderitzenak) lortzen dira:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\stackrel{\dot{}}{q}}_j}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0(j=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},n)$.

Ekuazio horiek 1788. urtean lortu zituen Lagrangek, nahiz eta jadanik 1739an Leonhard Eulerrek (1707-1783) zenbait lan argitaratu zituen bide horretan. Guztira, bigarren ordenako n ekuazio diferentzial dira (askatasun-gradu kopuru bera). Hasierako baldintzak finkaturik (partikulen posizioak eta abiadurak), ekuazio horiek integratuz, koordenatu orokortuen eboluzioa lor daiteke.

Mekanika hamiltondarra

Antzinatik, filosofoak ahalegin edo ekintza minimoa ren inguruko printzipioen bila aritu ziren, pentsatuz ezen naturaren izaera oso berezia zela eta portaera naturalean zenbait magnitude ahalik eta gutxien aldatzen zirela. Lehenagotik zetorren ahalegin hori mekanikaren arlora ere iritsi zen, eta, horrela, 1744an, Pierre Louis Maupertuisek (1698-1756) ekintza minimoaren printzipioa adierazi zuen, nahiz eta bere formulazioan oinarri filosofikoek oinarri matematikoek baino garrantzi handiagoa izan. Bide beretik, 1834an, Hamiltonek modu matematikoan eman zuen ekintza minimoaren printzipioa, Hamiltonen printzipioa ere baderitzona. Bariazioen kalkuluko teknikak eta aurretik definituriko funtzio lagrangearra kontuan izanik, era honetara formulatu zuen printzipioa: “Konfigurazio-espazioko puntu batetik beste batera denbora-tarte batean pasatzeko imajina daitezkeen ibilbide guztien artean, sistema mekanikoak funtzio lagrangearraren integrala estremal bihurtzen duena egingo du benetan”. Alegia, bariazioen kalkuluko notazioa erabiliz, sistemaren ibilbidea honako adierazpen hau beteko duena da:

$\delta {\int }_{t_1}^{t_2}L(q_j,{\stackrel{\dot{}}{q}}_j,t)dt=0$.

Adierazpen horretako integralari ekintza deritzo (edo ekintza-integrala), eta S letraz adierazi ohi da:

$S={\int }_{t_1}^{t_2}Ldt$.

Bariazioen kalkuluko teknikak erabiliz erraz ikus daitekeenez, printzipio horretatik Lagrangeren ekuazioak ondorioztatzen dira; beraz, ekuazio horien baliokidetzat har daiteke.

Dena den, Hamiltonek beste pauso bat ere eman zuen Lagrangek eginiko lanaren gainean, bereziki ekuazioetan erabiltzen diren aldagai dinamikoak beste era batera aukeratzean. Funtzio lagrangearreko aldagaiak koordenatu orokortuak ($q_j$) eta horien denborarekiko deribatuak (${\stackrel{\dot{}}{q}}_j$, abiadura orokortuak) dira; ondorioz, Lagrangeren ekuazioak bigarren ordenako ekuazio diferentzialak dira. Hala ere, Hamilton konturatu zenez, zenbait azterketarako egokiagoa da aldagaitzat koordenatu orokortuekin batera honelaxe definituriko momentu orokortuak erabiltzea:

$p_j=\frac{\partial L}{\partial \stackrel{\dot{}}{q}}=p_j(q_j,{\stackrel{\dot{}}{q}}_j,t)(j=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},n)\text{.}$

Horrela eginik, $(q_j,{\stackrel{\dot{}}{q}}_j,t)$ aldagaien multzotik $(q_j,p_j,t)$ aldagai independenteen multzora pasatzen da. Horrez gain, Hamiltonek funtzio berri hau definitu zuen:

$H(q_j,p_j,t)\equiv \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{p}_j{\stackrel{\dot{}}{q}}_j(q_k,p_k,t)-L(q_j,{\stackrel{\dot{}}{q}}_j(q_k,p_k,t),t)$.

Funtzio horri funtzio hamiltondar (edo, huts-hutsez, hamiltondar) deritzo. Lagrangeren ekuazioetatik abiaturik eta beharrezko transformazioak eginez, azkenean ekuazio hauek lortzen dira zuzenki:

$\begin{array}{}{\stackrel{\dot{}}{q}}_j=\frac{\partial H}{\partial p_j},(j=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},n),\\ p_j=-\frac{\partial H}{\partial q_j},(j=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},n)\text{.}\end{array}$

Ekuazio horiei Hamiltonen ekuazio kanonikoak deritze, eta Lagrangeren ekuazioen baliokideak dira. Guztira, $q_k$ eta $p_k$ aldagaietako 2n ekuazio diferentzial dira, lehen ordenakoak. Bestalde, Lagrangeren ekuazioak aztertzean $q_j$ koordenatuek konfigurazio-espazioa osatzen zuten era berean, $q_k$ eta $p_k$ aldagai hamiltondarrek fase-espazioa osatzen dute.

Ikus daitekeenez, mekanika hamiltondarrean maila berean tratatzen dira partikularen posizioa eta partikulen momentua definitzen dituzten koordenatu orokortuak. Hori dela eta, aukera dago koordenatuen transformazio orokorragoak egiteko eta horrek ahalmen handiagoa eskaintzen du partikulen ibilbideen propietateak aztertzeko.

Mekanika klasikoaren oinarrizko printzipioak

Esandakoak gogoan harturik, mekanika klasikoak oinarrian egiten dituen aurresuposizioak hiru printzipio hauetan bil ditzakegu:

• Denbora absolutua existitzen da, zeinaren neurketan emaitza berberak lortzen dituen edozein behatzailek, duen higidura duela.

• Higidura arautzen duten legeak Newtonen legeak dira, edo, forma landuago eta trinkoagoan esanik, lege horien baliokidea den Hamiltonen ekintza minimoaren printzipioa.

• Partikularen egoera erabat determinaturik geratzen da, haren posizioa eta higidura-kantitatea (hots, momentu lineala) ezaguturik, kontuan izanik bi magnitude horiek aldi berean neur daitezkeela.